范数

范数(norm)是数学中的一种基本概念。在泛函分析中，它定义在赋范线性空间中，并满足一定的条件，即①非负性；②齐次性；③三角不等式。它常常被用来度量某个向量空间（或矩阵）中的每个向量的长度或大小。

np.linalg.norm

（1）np.linalg.inv()：矩阵求逆
（2）np.linalg.det()：矩阵求行列式（标量）

linalg=linear（线性）+algebra（代数），norm则表示范数。首先需要注意的是范数是对向量（或者矩阵）的度量，是一个标量（scalar）：

首先help(np.linalg.norm)查看其文档：

x_norm=np.linalg.norm(x, ord=None, axis=None, keepdims=False)

①x: 表示矩阵（也可以是一维）
②ord：范数类型

向量的范数：

参数	说明	计算方法
默认	二范数：$\mathscr{l}_2$	$\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+…+x_{n}^{2}}$
ord=2	二范数：$\mathscr{l}_2$	$\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+…+x_{n}^{2}}$
ord=1	一范数：$\mathscr{l}_1$	$\|x_1\|+\|x_2\|+…+\|x_n\|$
ord=np.inf	无穷范数：$\mathscr{l}_{\infty}$	$max({x_1, x_2, …, x_n})$

矩阵的范数：

ord=1：列和的最大值

ord=2：|λE-ATA|=0，求特征值，然后求最大特征值得算术平方根

ord=$\infty$：行和的最大值

ord=None：默认情况下，是求整体的矩阵元素平方和，再开根号。（没仔细看，以为默认情况下就是矩阵的二范数，修正一下，默认情况下是求整个矩阵元素平方和再开根号）

>>> x = np.array([3, 4])
>>> np.linalg.norm(x)
5.
>>> np.linalg.norm(x, ord=2)
5.
>>> np.linalg.norm(x, ord=1)
7.
>>> np.linalg.norm(x, ord=np.inf)
4

二范数的一个等价方法：

import numpy as np

x=np.array([[0, 3, 4], [2, 6, 4]])

y2=np.sum(x**2, axis=1, keepdims=True)**0.5

z2=x/y2

print('x=', x, 'y2=', y2, 'z2=', z2, sep='\n')

x=
[[0 3 4]
 [2 6 4]]
y2=
[[ 5.        ]
 [ 7.48331477]]
z2=
[[ 0.          0.6         0.8       ]
 [ 0.26726124  0.80178373  0.53452248]]

范数理论的一个小推论告诉我们：$\ell _1 \geq \ell _2 \geq \ell _\infty$

③axis：处理类型

axis=1表示按行向量处理，求多个行向量的范数

axis=0表示按列向量处理，求多个列向量的范数

axis=None表示矩阵范数。

④keepding：是否保持矩阵的二维特性

True表示保持矩阵的二维特性，False相反

import numpy as np
x = np.array([
    [0, 3, 4],
    [1, 6, 4]])
#默认参数ord=None，axis=None，keepdims=False
print("默认参数(矩阵整体元素平方和开根号，不保留矩阵二维特性)：",np.linalg.norm(x))
print("矩阵整体元素平方和开根号，保留矩阵二维特性：",np.linalg.norm(x,keepdims=True))
 
print("矩阵每个行向量求向量的2范数：",np.linalg.norm(x,axis=1,keepdims=True))
print("矩阵每个列向量求向量的2范数：",np.linalg.norm(x,axis=0,keepdims=True))
 
print("矩阵1范数：",np.linalg.norm(x,ord=1,keepdims=True))
print("矩阵2范数：",np.linalg.norm(x,ord=2,keepdims=True))
print("矩阵∞范数：",np.linalg.norm(x,ord=np.inf,keepdims=True))
 
print("矩阵每个行向量求向量的1范数：",np.linalg.norm(x,ord=1,axis=1,keepdims=True))

默认参数(矩阵整体元素平方和开根号，不保留矩阵二维特性)： 8.83176086633
矩阵整体元素平方和开根号，保留矩阵二维特性： [[ 8.83176087]]
矩阵每个行向量求向量的2范数： [[ 5.        ]
 [ 7.28010989]]
矩阵每个列向量求向量的2范数： [[ 1.          6.70820393  5.65685425]]
矩阵1范数： [[ 9.]]
矩阵2范数： [[ 8.70457079]]
矩阵∞范数： [[ 11.]]
矩阵每个行向量求向量的1范数： [[  7.]
 [ 11.]]

补充

估计线性模型中的系数：b=a*x

1	a=np.linalg.lstsq(x,b)

求方阵的逆矩阵

1	np.linalg.inv(A)

求广义逆矩阵：

1	np.linalg.pinv(A)

求矩阵的行列式：

1	np.linalg.det(A)

解形如AX=b的线性方程组：

1	np.linalg.solve(A,b)

求矩阵的特征值：

1	np.linalg.eigvals(A)

求特征值和特征向量：

1	np.linalg.eig(A)

Svd分解：

1	np.linalg.svd(A)

【Numpy】基于numpy库的范数计算方法

范数

np.linalg.norm

补充

参考文章